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什么是信息论

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这篇文章可以看做吴军在「得到」上的《信息论40讲》的简要版本，后者更多的是用非数学的语言结合商业世界的一些常识的分析，但如果从未接触信息论的同学可以从本文看起（虽然还是需要一些数学底子）。
 
不过如果你也没兴趣看，那么就记得一句话「信息是用来消除不确定性」的就好了。我曾记得我五次三番的推荐信息论，因为这是信息时代的基石理论，我们日常生活大多数的问题和苦恼，都是来自于信息不足，而不了解信息的这些客观特征，仅凭主观的意愿，是无法「人定胜天」的 —— 这就像在工业革命的时候不了解力学原理一样 —— 及早的知道事情的物理边界以及解决方法，反而能提高我们的效率。
 
另外文章末位对于「一图胜千言」的数学证明非常漂亮，即使如我这种数学渣渣都能感受到其中美妙的乐趣，相信你也能体会到。
 
信息论入门教程
1948年，美国数学家克劳德·香农发表论文《通信的数学理论》（A Mathematical Theory of Communication），奠定了信息论的基础。 今天，信息论在信号处理、数据压缩、自然语言等许多领域，起着关键作用。虽然，它的数学形式很复杂，但是核心思想非常简单，只需要中学数学就能理解。 本文使用一个最简单的例子，帮助大家理解信息论。 小张是我的好朋友，最近去了美国。 我们保持着邮件联系。小张写信的时候，只使用4个词汇：狗，猫，鱼，鸟。 信的所有内容就是这4个词的组合。第一封信写着"狗猫鱼鸟"，第二封信写"鱼猫鸟狗"。 信件需要二进制编码，在互联网传递。两个二进制位就可以表示四个词汇。 所以，第一封信"狗猫鱼鸟"的编码是 00011011，第二封信"鱼猫鸟狗"的编码是 10011100 。 最近，小张开始养狗，信里提到狗的次数，多于其他词汇。假定概率分布如下。 小张的最新一封信是这样的。 上面这封信，用前一节的方法进行编码。 0000000001011011 一共需要16个二进制。互联网的流量费很贵，有没有可能找到一种更短编码方式？ 很容易想到，"狗"的出现次数最多，给它分配更短的编码，就能减少总的长度。请看下面的编码方式。 使用新的编码方式，小张的信"狗狗狗狗猫猫鱼鸟"编码如下。 00001010110111 这时只需要14个二进制位，相当于把原来的编码压缩了12.5%。 根据新的编码，每个词只需要1.75个二进制位（14 / 8）。可以证明，这是最短的编码方式，不可能找到更短的编码，详见后文。 前一节的编码方式，狗的编码是 0，这里的问题是，可以把这个编码改成 1 吗，即下面的编码可行吗？ 回答是否定的。如果狗的编码是 1，会造成无法解码，即解码结果不唯一。 110有可能是"狗猫"，也可能是"鱼"。只有"狗"为 0 ，才不会造成歧义。 下面是数学证明。一个二进制位有两种可能 0和 1，如果某个事件有多于两种的结果（比如本例是四种可能），就只能让 0或 1其中一个拥有特殊含义，另一个必须空出来，保证能够唯一解码。比如， 0表示狗， 1 就必须空出来，不能有特殊含义。 同理，两个二进制位可以表示四种可能： 00、 01、 10和 11。上例中， 0开头的编码不能用了，只剩下
https://mp.weixin.qq.com/s/S511MWL94EmlEvpnPwTHzQ
 
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